数学建模方法

分枝上注明有概率的pij，它表示采取决策ai时，状态 j的概率．由决策ai和状态 j联合产生的结果的效用在图中用u(ai, j)表示．根据Von Neumann-Morgenstern的理论，如果决策人对决策问题的各种结果的偏好模式是合乎理性的，即满足一定的理性行为公理，则他对结果的偏好模式能用效用函数去表示，而且他采取某一决策ai时的效用，就是以下的期望效用：

n

u(i)=

j 1

piju(ai, j),i 1,2,...,m, ． (2．1)

上式中的u(ai, j)是状态为 j时采取的行动ai的效用，而pij为结果(ai, j)发生的概率．在本例中 计算了每种决策的效用以后，按照理性行为公理决策人应当选择期望效用最大的那个决策m 4,n 4．作为最优决策．

在上述生产问题中，如果要考虑细节问题，一般情况下，它包含有如下的一系列决策过程：决策人首先要决定是否发展某种产品．如果认为要发展，接着就应该考虑研制这种产品的费用．由于研制费用事先不能精确核算，决策人将把它作为一种自然状态看待．如果产品研制成功，决策人应该决定该产品是否投入批量生产．如果决定批量生产，产品的生产成本就提到了议事日程．由于生产成本包含若干不确定的因素，决策人事先也难精确核算，因此也应该把它作为自然状态．产品投放市场之前，决策人还需要设定它的价格，投放市场之后，产品的销售量决定了这种产品是盈利还是赔本．在上述决策过程中，产品是否发展？是否投产？以及设定它的价格，都是决策人的任务，但是产品研制成本，生产成本，销售数量等则属于自然状态，它们都具有某种不确定性．图2．2是这个决策过程的决策树．

当决策人设定了各自然状态的先验密度和各结果的效用以后，求解这个多级决策问题在理论上是容易的．分析的步骤是首先设定产品的销售量的概率分布．这个分布对应于给定的研制费用、生产成本和商品价格，当产品销售量的先验密度 为已知时，就能计算其期望效用u( ,a)．然后选择一种价格a0使期望效用为最大．我们再设定生产成本的先验密度并计算当研制费用给定时生产这种产品的期望效用．