数学建模方法

好程度．带伞问题有四种可能结果，即不带雨伞不遇雨，不带伞遇雨，带伞不遇雨，带伞遇雨，分别记为C1，C2 ，C3，C4．如果决策人选择的行动为不带伞，她可能遇到的其中的两种结果不带雨伞不遇雨和不带伞遇雨．如果天气有三种情况，第一种情况是遇雨的概率为零，不遇雨的概率为1；第二种情况是遇雨和不遇雨的概率各为1/2；第三种情况是遇雨的概率为1，不遇雨的概率为零．我们用P1，P2，P3各表示第一种，第二种和第三种天气情况所对应的展望，则这三个展望可表示为：

P1=（1，C1；0，C2；0，C3；0，C4）， （2．4） P2 =（1/2，C1；1/2，C2；0，C3；0，C4）， （2．5） P3 =(0，C1；1，C2；0，C3；0，C4) （2．6）

上式中C3和C4的概率均为0，这是因为决策人已经决定不带伞，故带伞的两种结果不会发生．当人们没

有带伞时，他当然不希望遇到雨．因此这三种展望的优先关系应当是P1优于 P2，而 P2又优于P3．我们用P1 P2表示P1优于 P2，用P1 ～P2 表示P1 和P2无差异．用P1 P2 表示P2不优于P1．这样，不带伞行动的三种展望的优先关系为P1 P2 P3．亦即（1，C1；0，C2；0，C3；0，C4） （1/2，C1；1/2，C2；0，C3；0，C4） （0，C1；1，C2；0，C3；0，C4）．下面定义在 上的效用函数。

2．效用函数的定义

定义2．1 在 上的效用函数是定义在 上的实值函数u： （1）它和在 上的优先关系 一致，如

P1， P2 ∈ ，有

P1 P2 ，当且仅当u(p1) u(p2)． （2．7）

（2）它在 上是线性的，即如果P1， P2 ∈ ，而且0≤λ≤1，则

u( p1 (1 )p2) u(p1) (1 )u(p2) （2．8）

把上述定义推广到一般情况，函数u的线性性可表示为：如果pi∈ ,而且

m

m

i

m

i 0,i 1,2m,,..

i

1,则 u( ipi)

i 1

u(P)

i

i

i 1

．由于p (p1,c1;p2c,

2

;,，)故

u(p) u(p1c,1p;2c,2;p..c.n．我们把,)P分解成P1， P2，…, Pn的和，而P1， P2，…, Pn分别为（1，n

C1；0，C2；…；0，Cn）, （0，C1；1，C2；…；0，Cn）,…, （0，C1；0，C2；…；1，Cn）．由效用函数在 上的线性性质可知，u(p)可表示为

n

m

n

n

u(P) u( piPi)

i 1

i 1

piu(Pi)

i 1

piu(0,c1;...;0,ci 1;1,ci;0,ci 1;...;0,cn) = piu(Ci)

i 1

（2．9）

上式中u（Ci）为u（1，Ci），i=1，2，…m,即以概率1选择结果Ci的效用．按照定义2．1，P的效用 u（P）就是以概率p1选择结果C1，以概率p2选择结果C2，…, 以概率pm选择结果Cm的期望效用．因此，如果效用u存在，而且它和决策人对 中各元素的偏好关系一致，即当P1 P2，则u（P1）≥u（P2）,决策人必将选择一行动结果的期望效用极大．例如，带伞问题，我们设定四种结果，即不带雨伞不遇雨，不带伞遇雨，带伞不遇雨，带伞遇雨，他们的效用分别是u（C1），u（C2），u（C3）和u（C4）．我们还设定下雨的概率为p，则不带伞和带伞的两种期望效用将分别为 (1- p)u(C1)+p u(C2)和 (1-p)u（C3）+p u（C4）