数学建模方法

①获得决策人效用函数曲线上的若干个代表性的点，利用这些点画出效用函数曲线，并规范化；在规范化的效用函数曲线上求得u(x0)=0．5的x0的值．

②将u (1) 1和u (x0)=0．5代入式（2．21），可得方程组

ln( 1b )1 c lnb c （2．22）

c lnb c ln(x b) 0.50

解得 b

x0

2

1 2x0

（2．23）

由于我们只讨论下凹的效用函数，所以上式中的0<x0<0．5．将式（2．23）代入式（2．21*），得 u (y) d c lny(

x0

2

1 2x0

) （2．24）

③用函数曲线上的若干个有代表性的点的值，解回归方程确定参数d和c，得到式（2．24）所示的拟和函数．与幂函数一样，拟合所得效用函数u (y)的准确性同样取决于最初设定的那些有代表性的点的效用值的精度．

2．4．3 效用函数在决策中的作用

效用函数在经济分析中有广泛的应用，下面是几个有名的模型．

消费者最大化模型． 在市场经济活动中，消费者的行为准则之一是使用效用最大化．设消费者可用于消费支付的资金总额为m，m>0．于是可以建立以下数理规划模型（Ⅰ）

maxu(x)

数学建模方法

s．t． px≤m, x X x En|x 0

T

其中u( )是消费者的效用函数p (p1,p2,...pn)T是价格向量，它的第i个分量是第i种商品的价格．pi>0，i=1，．．．，n．

关于模型（Ⅰ）的最优解x*=( x*1,…, x*n)T有以下定理．

定理2．1 假设u( )是连续函数，相应的 满足局部不饱和性公设，即对任何x∈X及ε>0，必存在y∈X，满足 y x ( 为某种模)

y x

则模型（Ⅰ）的最优解x*必满足 PTx m

证明 据Bolzano-Weierstrass定理，u(x)在可行域{x| pTx≤m , x∈X }上必存在最优点，记之为x*． 若PTx m,因x∈X，故存在ε>0，使得

{y|y∈X , y x* } {x|pTx m,x X} （2．25） 据A7存在知x',满足 x' x* ,

*

x x

'

x x|px m,x X

'

T

因此u(x ) u(x)．这与x*是最优点矛盾．故必有pTx*=m．．

据此定理，消费者行为模型可转化为模型（Ⅱ）：

maxu(x)

s．t． px m

x∈X．

定理2．2 假设 满足严格凸性公设，即对于x,y,z X若x z,y z且x≠y,则对任意λ∈(0,1)，有

T

x (1 )y z