数学建模方法

第三步：若c4 c1，求 （0< <1），使c1 c2+(1- )c4，则

u(c1) u( c2 (1 )c4) u(c2) (1 )u(c4)，所以u(c4) /( 1)．

第四步：若c5 c2，求 （0< <1），使c2 c5 (1 )c1，则u(c2) u(c 所以u(c5) 1/ ． 第五步：一致性校验．

设c5 c4 c3,c3、c4、c5已知，由c4 c5 (1 )c3可求得u (c4)．

5

(1 ) c)

1

u( c)

5

，

若u (c4)与已知的u(c4)不符，则反复进行第二至第四步，直到一致性校验通过．

2-5 某生物药厂欲将某种新药推向市场，有两种可能不同的情况，一种是新药“市场有利”，即新药投入市场后会获得巨大的社会和经济效益，另一种是新药“市场不利”，即新药没有原产品效益好．决

策人有两种可能的决策：一是推广新产品，一是生产旧产品．对决策人而言，新药“市场有利”时推广新产品是最理想的，其次新药“市场不利”时生产旧产品，再次是新药“市场有利”时生产旧产品，最不理想的是新药“市场不利”时推广新产品．试设定各种结果的效用值．

首先做画出该问题的决策树，如图2．7所示．由题意可知，决策人对四种结果优劣的顺序是：

c2 c3 c4 c1．

第一步：令u(c1)=0，u(c2)=1．

第二步，询问决策人，新药“市场不利”生产旧产品这种结果与新药“市场不利”时推广新产品有多大概率相当，若决策人的回答是0．3，则c3 0.7c2 0.3c1,u(c3) 0.7u(c2) 0.7．

数学建模方法

第三步：询问决策人，新药“市场有利”生产旧产品c4这种结果与新药“市场不利”推广新产品有多大概率相当，若决策人的回答是0．6，则c4 0.4c2 0.6c1,u(c4) 0.4u(c2) 0.4．

第四步：进行一致性检验． 以上c3和c4的效用值都是通过c2与c1的比较设定的．在进行一致性检验时c3和c4加上另一个结果，比如c2，则由c2 c3 c4，要求决策人判断，c3是c2和c4的何种组合的确定当量．设决策人认为c3 0.4c2 0.6c4，由此求得u (c3) 0.64，与第二步所设定的0．7并不一致．于是重复第二步和第三步，如果决策人第二步设定的u(c3)不变．而将第三步的u(c4)调整为0．5，决策人第四步仍认为c3 0.4c2 0.6c4，则可通过一致性检验．

3．连续型结果的效用函数的构造

当结果c为连续变量时，上述的方法就不再适用．但是如果能通过分析找到u(c)的若干特征值，求特征点的效用后，再连成光滑曲线；或者u(c)是连续、光滑的，则可以分段构造u(c)．

例6 试作出与每天用于学习的时间相应的效用曲线．

首先进行基本分析．任何人不花时间去学习，都不会有成效，亦即t=0处的效用值为0．随着学习时间的增加，效用值也会有所增加．但是由于进入状态需要一定的时间，所以在t较小时，效用的增加较慢；过了一段时间后，效用与所花时间基本上是线性关系的．随着学习时间的不断增加，人会疲劳，效率会下降，存在效用值最大的点tm；时间太长，头晕脑胀，这时的效果不如学习时间适度时效果好，既再增加学习时间又会从效用最大值处下降，因为极端情况是如果每天24小时都是学习，连生命都无法维持，肯定不会有什么效果，在这样的极端情况下效用必是负值．由上面的简单分析可以勾画出每天用于学习的时间与相应效用的曲线大致如图2．8所示．其中与效用最大值对应的tm是因人而异的，有人可能高达14时/天，而有人只有9~10时/天．

在图中值得注意的点还有to， 这是过坐标原点作效用函数曲线的切线的切点o的横坐标值．每天的学习时间为to小时，效率最高．to的值也因人而异．每个人，尤其是学生，应该通过各种途径，测算出自己的to，以便更好的安排学习时间．

应该注意的是，由于效用函数的唯一性，效用的值域可以是整个实数轴，而不必限于[0，1]区间．