数学建模方法

图2．2决策过程决策

把它和不投入生产的效用做比较，如果投入生产的期望效用要大一些，则投产，否则不投产．最后再设定研制费用的先验密度并计算其期望效用，把他和不发展这种产品的效用做比较，做出是否发展这种产品的最后决定．

由上面的讨论可以知道，决策分析的基本步骤有以下几步：

第一步 构成决策问题．这一步要为决策问题设定目标，同时提供可以选择的方案或者行动．例如在前面提到的带伞问题中，可采用的方案有两种即带伞和不带伞，而希望达到的目标是在尽可能减少负担的情况下不被雨淋湿．

第二步 考虑决策结果．确定各种决策可能产生的结果并设定各种结果发生的概率． 第三步 确定决策偏好．了解决策人对各种后果的偏好，并对其效用赋值．

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第四步 评价和比较决策．在以上三步的基础上去选择决策人最满意的决策，评价决策的依据是计算各种决策的期望效用．根据效用理论，可以选择期望效用最大的决策作为决策人最满意的决策．当然也可以选择其他评价准则进行决策。

以上各个决策步骤之间的关系如图2.3所示。

图2．3 随机型决策分析的基本方法和步骤[8]

需要说明的是，上面所介绍的步骤并不是一成不变的，可以根据问题的特点适当地交换决策步骤的顺序。例如为了分析的方便，有时可把步骤③放在步骤②之前进行．

2．3 主观概率

2．3．1 主观概率的概念

随机事件发生的概率通常是通过大量的随机试验来确定．所谓随机试验，就是指：①可以在相同条件下重复进行；②每次试验的可能结果不止一个，并且能明确试验的所有可能结果；③进行试验之前不能事先准确地预言它的结果．但有许多决策问题不允许人们去进行大量的随机试验，是由于两个原因，首先，某些决策问题需要对尚未发生又具有某种不确定性的事件进行预测．这些事情不允许人们在相同条件下重复进行试验．例如生产问题，未来将要在市场上销售的商品，不可能事先在相同条件下做重复试验．因此，不能用随机试验去确定他们的概率．此外，有些决策问题在理论上虽然可以进行重复实验，但由于各种原因，实际上也无法进行．例如有关洲际导弹发射的决策问题，将涉及导弹命中的概率．这种概率虽然原则上能通过在相同条件下的重复实验去确定，但是由于发射一枚洲际导弹的费用十分昂贵，事实上也不能多次重复发射甚至最好一次实验都不做而发射成功．

既然许多决策问题的概率不能通过随机试验去确定，那就只能由决策人根据他们自己的经验和过去的信息去估计．这样估计的概率反映了决策人对事件掌握的知识所建立起来的信念，称为主观概率，以区别于通过随机试验所确定的客观概率．借助于先验信息所确定的主观概率的分布，称为先验分布．设定主观概率，也就是设定离散型或者连续型的先验分布．

主观概率与客观概率虽有本质区别，但在定义概率方面却有相同之处．他们都必须遵循若干公认的假

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设（或称公理系统），然后从这些假设出发，利用逻辑推理的方法导出更复杂的不确定事件的规律．主观或客观概率的这些基本假设是：

（1）设Ω为一非空集，集中的元素可以是某种试验或者观察的结果，也可以是自然状态，如商品的销路、天气的晴雨等．我们把这些元素当作抽象的点ω，因而集合为Ω=（ω）．

（2）设F 是Ω中的一个子集A所构成的集．F 满足以下条件：

1)Ω∈F ；

2)如果A∈F ，则A∈F （A=Ω\A）；

3)可列多个Am∈F ，m=1,2,…,则它们的并集也属于F ，即

m 1

Am∈F （2．2）

（3） 设P（A）（A∈F）是定义在F 上的一个实值集函数，如果它满足以下条件，就成为F 上的（主观或者客观）概率测度，或者简称概率．这些条件是：

1)对于每一个A∈F ，有1≥P（A）≥0；

2)P（Ω）=1；

3)可列多个Am∈F ，Ai Aj =Ф, i≠j, 则

P( Am)= P(Am)． （2．3）

m 1

m 1

这里称点ω为基本事件，F 中的集A称为事件，F 是全体事件的集，P（A）称为事件A的（主观或客观）概率，而三元总体（Ω，F ，P）称为（主观或客观）概率空间．

2．3．2 设定主观概率的方法

由于主观概率也是一种概率测度，因此设定主观概率的方法和其他测量方法有类似之处．在设定主观概率时，我们也要选择一事件作为比较的基准．这个基准是一个已知概率的事件．设已知概率事件的概率能够按照要求进行调整，直到决策人认为两个事件（已知的和待定的）是等可能发生的．另一种办法是把一个事件分割为两个等可能的对立事件（两个事件A和B既是互不相容又构成整体，即A B , A B ），这种等可能就意味着两个事件的发生各有50%的机会．因而我们能设定他们的概率均为

0．5．以上两个方法的优点在于他们比较符合人们认识事物的规律．一个人判断两个重量相等的口袋，要比判断两个不同的口袋并指出：“左手拿的口袋要比右手拿的口袋重2．5倍”，要容易的多．

下面我们列举几种主观设定先验分布的实际方法．

（1） 概率盘 概率盘为一圆盘，见图2．4（此盘由美国Stanford大学 的Howard教授提供）．圆盘划分为两个扇形区，分为橙色和蓝色．两个扇形面积可以任意调整，例如扩大橙色区，缩小蓝色区，或相反．圆盘的反面有刻度，圆盘的正面的橙色区是反面的蓝色区．由刻度可查得正面的橙色区所占整个圆盘面积的百分比，圆盘调整终了后，查反面的刻度就可知道某一事件所对应的概率．