数学建模方法

4．用解析函数近似效用曲线

为了分析和运算方便，分析人员通常希望能够用某种解析函数式u(x)来近似地表达效用．

为了讨论简化，我们只讨论下凹的、规范化的效用曲线．所谓规范化的效用函数是指0≤x≤1，且u(0)=0，u(1)=1的效用函数．由于①效用函数在正线性变换下的唯一性，规范化后的效用函数和变换前的效用函数一样能反映决策人的偏好；②对规范化的效用曲线，任何下凸的曲线都有一条对称于直线u(x)=x的下凹曲线u (x)，且这两条相互对称的曲线存在如下关系u (x) 1 u(1 x)；因此只讨论下凹的、规范化的效用曲线并不失一般性．

常用的下凹函数有幂函数和对数函数，下面我们分别讨论． （1）幂函数

幂函数u x,0 1的曲线的曲率随 的增加而变小；在 不变时，曲线在不同的区间有不同的曲率．因此可以通过坐标平移用幂函数曲线的某个区间来近似下凹的效效用曲线．

如图2．9所示，坐标u x平移后分别记作u x ，他们之间的关系为

x x b

（2．16）

u u b

代入u x，得u b (x b)既

u (x b) b （2．17）

1c

令x =y且u u (y)代入上式可得

数学建模方法

u (y) c b

c( y

（2．18） )b

这就是效用函数的幂函数形式．

分析人员在求决策人的幂函数形式的效用函数时，首先用前面介绍的方法获得效用函数曲线上的若干个有代表性的点；之后，选择一个 值，比如说 =0．5，用最小二乘法，解回归方程确定参数b和c，得到式（2．18）所示的拟和的效用函数；在拟和误差较大时，可以适当调整 值重新拟和．这一拟和所得效用函数u (y)的准确性，主要取决于最初设定的那些有代表性的点的效用值的精度．

（2）对数函数

用对数函数u lnx拟和决策人的效用函数时，与幂函数类似，也要进行坐标变换，见图2．10． 变换后的坐标u 、x 与原坐标u、x之间的关系为 代入u lnx得

u ln(x b )令x =y，u

1c

x x b u u lnb

（2．19）

（2．20） lnb

u (y)，代入上式可得

u (y) c lnb cln (y若令d= c lnb，上式即 u (y) d cln( y这就是效用函数的对数函数形式．

b （2．21）

b ) （2．21*）