数学建模方法

正面

反面

（a）

图2.6 概率盘

（b）

图2．5 抽奖事件

图2．4 概率盘

概率盘定义的是一抽奖事件（简称抽奖）．圆盘调整终了后，事件以概率p发生在橙色区，以概率1-p发生在蓝色区．如果事件发生在橙色区产生的结果为C1（例如得到奖金C1），发生在蓝色区时产生的结果为C2（例如得到的奖金为C2），则此抽奖事件可由图2．5表示．用概率盘设定某概率待定的事件时，比如要设定某产品明年的销售量的概率，需要决策人去判断以下两个抽奖中哪一个更可能发生：其中一个是某产品明年销售量小于或等于x件，另一个是发生在概率盘橙色区中的事件．概率盘橙色区的面积被调整，直到决策人认为两个事件发生的概率相等．查阅概率盘反面的刻度，即可确定此产品销售量小于或等于x件的概率．选择x为几个不同的数值，可以近似的求得先验分布曲线．

注意：状态的概率或概率分布不是也不应该由决策分析人员来设定，而应当由决策人和有关问题专家提供基本信息。

（2） 区间法 把事件的不确定性区间Ξ划分为两部分．例如，把某商品明年最小销售量设为五百件，最大销售量为一万件．我们把这个区间划分为五百件到五千件和五千件到一万件两部分．然后询问决策人：他认为明年销售量处在哪个部分的可能性大？最后改变区间的划分点，减小可能性大的部分，直到决策人认为明年的销售量处在两个部分中是等可能的为止．按此方法求得中位数以后，还可以求得四分位数（即对应的概率为1/4和3/4的点），如此等等．使用这种方法，误差是累积的，因此不宜于用它去设置较四分位数更高的位数．

（3） 相对似然法 这个方法是在事件的不确定量的某个区间 中确定“最可能”和“最不可能”的点的相对似然值，例如首先把某商品明年的销售量订在一千件到一万件之间，然后询问在这个区间中最可能的销售量是多少件？最不可能的销售量是多少件？然后再询问最可能的销售量的可能性是最不可能的销售量的可能性的多少倍？这样就确定了它们的相对似然值，最后再选择其他几个销售量去分别确定它们对最可能销售量的相对似然值，由此就可以近似的画出一根非正常先验密度曲线．非正常先验密度是指密度的积分 ( )d 不等于1，还需要乘上一标度常数才能使它正常化．

（4） 直方图法 设事件不确定量的区间为Ξ．采用直方图法，应把Ξ划分为若干区段，决策人根据他的先验知识去设定事件发生在每个区段中的概率．这样就可以绘出先验密度的直方图，如图2．6所示． 根据直方图再绘制一光滑的密度函数曲线 ( )．

数学建模方法

例如：明年国民经济的增长率

0.20.150.10.050

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%10%11%12%13%14%15%

1

图2．6 先验密度的直方图

在实际绘制直方图时，需要考虑区段如何划分才比较恰当．如果区段划分很疏，则绘制的密度曲线实际很粗糙，划分过密，又会增加估计概率的困难．采用上述任何一种方法都难于设定小概率事件的值，通常称为密度函数尾部的值．但存在缺点：①子区间的划分没有标准；②赋值不易；③尾部误差过大。 直方图法和相对似然法都规定了时间的不确定量的区间，当然不包括密度函数的尾部．概率盘对稀有事件也不好用．区间法虽然理论上等分十次能达到一事件的概率近千分之一，但由于决策人最后的判断是十次不同的判断的综合，只要每次判断有微小误差，则十次累积起来的误差必然相当大，因此这个方法也只能用于估计密度曲线中间部分的值．

2．4 效用函数

效用是商品满足消费者需要的总程度．研究经济问题、进行决策分析都要求对效用有深入的理解． 2．4．1 效用函数的概念 1．展望和优先关系

在某一决策问题中，设C1，C2，… Cn表示决策人选择某一行动ai时全部n个可能的结果；p1,p2,...pn

n

分别是结果C1，C2，… Cn发生的概率，并且 pi 1．我们用P表示所有结果的概率分布，并记为

i 1

P (p1,c1;p2,c2;...;pn,cn)，它表示结果C1以概率p1出现，结果C2以概率p2出现，…,结果Cn以概率pn

出现．P称为展望．所有展望的集记做 ．集 有以下性质：1)在凸线性组合下 是闭的，即如果p1∈ ，p2∈ ，当0≤λ≤1时，λp1+（1-λ）p2∈ ；2)所有退化的概率分布属于 ．

我们现在研究集 中各元素之间的优先关系．这种优先关系反映了决策人对决策问题的各种结果的爱