P(x)P(x)

这种类型积分的处理，一般来说,是把真分式Q(x)若(Q(x)是假分式可化为

多项式与真分式之和)分解为若干简单的部分分式之和，再分别求出每一部分的积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下： 第一步 对分母Q(x)在实数系内作标准分解：

第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形

k

(x a)如的因式，它所对应的部分分式是

A1A2Ak

2

(X a)k； x a(X a)

对于每个形如

(x2 px q)k

的因式，它所对应的部分分式是

B1x C1B2x C2Bkx Ck

x2 px q(x2 px q)2(x2 px q)k

，把所有的部分

P(x)

分式加起来就是Q(x)。（部分分式中的常数系数Ai

\Bi\Ci尚为待定的）

第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，而其分子亦应与原分子P(x)恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。具体请看例15

例8

x 1(x

2

1

2

1)

dx

2

Q(x) x 1(x2 1) 解: 按上述步骤执行如下：

部分分式分解的待定形式为

P(x)ABCx D Q(x)(x 1)(x 1)2x2 1

用Q(x)乘上式两边得一恒等式

222

1 A x 1 (x 1) B(x 1) (Cx D)x( 1)

然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：