A C 0

A B 2C D 0

A C 2D 0 A B D 1 解得

1

A 2 1 B 2 1C

D 02

P(x)11x

Q(x)2(x 1)2(x 1)22(x2 1)

故

x 1(x

2

1

2

1)

dx

111x

dx dx dx 2 2

2(x 1)2(x 1)2(x 1)

111lx c22x 14ln(x2 1)

完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分： (a)

x a1

k

dx

Lx M2

dxp 4q 0 (x2 px q)k

; (b) .

对于(a)，已知

lx a

1

1 x akdx

(1 k)(x a)k 1

k 1k 1

对于（b）令

t x

p

2，便有

Lx MLt Ntdt

dx dt Ldt N (x2 px q)k t2 r2 (t2 r2)k (t2 r2)k， （1）

其中

p2p

r q ,N M L

42。

2

当k 1时，（1）式右边两个不定积分分别为

t122

dt ln(t r) c (t2 r2)k

2