1 不定积分概念与基本公式

1.1 原函数与不定积分

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

1.1.1原函数的概念

如果在某区间

S

上可导函数F(x)的导函数为

f(x)

,即对每一个

x S,都有.则函数F(x)就称为f(x)在该区间上的原函数.

原函数存在的条件:

如果函数f(x)在区间S上连续,则在S上存在可导函数F(x),使得(x S),

即连续函数一定有原函数.

注 (1) 若f(x)在S上有原函数,则有无穷多个原函数; (2) 任意两个原函数只相差一个常数.

例1 验证F(x) 1(1 lnx)2和G(x) 1ln2x lnx是同一个函数的

2

2

原函数, 并说明两个函数的关系.

分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有F (x) G (x) f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数. 所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可. 解 因为F (x) (1 lnx) G (x) lnx

1x

11 lnx xx

11 lnx xx