例3 0sinxx

注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2 ]上有

0 x sinx

sinx

sinx x 2

2

利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.

2

sinxx sinxdx sinxdx

2

cosx0 cosx [ 1 1] [1 ( 1)] 4.

2

说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目.

3 换元积分法

3.1设g(u)在 , 上有定义，u (x)在 a,b 上可导，且a (x) b，

x a,b ，并记

f(x) g( (x)) '(x),x a,b ..

(i)若g(u)在 , 上存在原函数G(u)，则f(x)在 a,b 上也存在原函数

F(x),F(x) G( (x)) C，即

f(x)dx g( (x)) '(x)dx g(u)du

G(u) C G( (x)) C. (1)

(ii)又若 '(x) 0,x a,b ，则上述命题(i)可逆，即当f(x)在 a,b 上存在原函数F(x)时，g(u)在 , 上也存在原函数G(u)，且G(u)=F( 1(u)) C，即