18．解：(1)证明：由f(x)＝xcos x－sin x得 f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.

ππ

因为在区间 0，上f′(x)＝－xsin x<0，所以f(x)在区间 0上单调递减．

22 从而f(x)≤f(0)＝0.

sin xsin x

(2)当x>0时，“>a”等价于“sin x－ax>0”，“b”等价于“sin x－bx<0”．

xx令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c.

π

当c≤0时，g(x)>0对任意x∈ 0恒成立．

2

ππ

当c≥1时，因为对任意x∈ 0， ，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间 0， 上单调递减，

2 2 π

从而g(x)<g(0)＝0对任意x∈ 0， 恒成立．

2

π

当0<c<1时，存在唯一的x0∈ 0， 使得g′(x0)＝cos x0－c＝0.

2 π

g(x)与g′(x)在区间 0，上的情况如下：

2

π

因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈ 0恒成

2 ππ2

立”当且仅当g ＝1－c≥0，即0<c≤2 2π

π2

综上所述，当且仅当c≤g(x)>0对任意x∈ 0， 恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任

2 ππ

意x∈ 0，恒成立．

2

πsin x2所以，若a<b对任意x∈ 0，恒成立，则ab的最小值为1.

x2 π

20．、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A

处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex；

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. 20．解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a. 又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2. 令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.

当x<ln 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．