图1-2

1324

A．y＝x3x B．y＝x3－x

12551255331

C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x

1251255

10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所

以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入点(－5，2)得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y′

a＝125， －125a－5c＝2，

＝3ax＋c，得当x＝－5时，y′＝75a＋c＝0.联立 解得 故该三次函数的解

3 75a＋c＝0，

c＝－52

1

13

析式为y＝3－x.

1255

B11 导数及其运算 18．、[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 18．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝1＋a－2x－3x2.

－14＋3a

令f′(x)＝0，得x1＝，

3－14＋3ax2＝，x1<x2，

3所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)． 当x<x1或x>x2时，f′(x)<0； 当x1<x<x2时，f′(x)>0.

－1－4＋3a －1＋＋3a

故f(x)在 －∞， 和 ，＋∞ 内单调递减，

33 在

－14＋3a－14＋3a内单调递增．

33

(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，

①当a≥4时，x2≥1.

由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，

所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a<4时，x2<1.

由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， －14＋3a

所以f(x)在x＝x2＝

3

又f(0)＝1，f(1)＝a，

所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；

当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值； 当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值． 21．、、[2014·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*. (1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；

(2)数列{a1p－1c－n}满足a1＞p1

pan＋1＝pn＋p1n，证明：an＞an＋1＞cp

. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．

①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．

当p＝k＋1时，(1＋x)k＋

1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明ac1

n>p①当n＝1时，由题设知a1

1>cp

1

②假设n＝k(k≥1，k∈N*

)时，不等式ak>c成立． 由a＝p－1pac－n＋1n＋p1np易知an>0，n∈N*

. 当n＝k＋1时，ak＋1p－1c－pa＝pak＝

kp11cp a－1 k

. 由a111ck>cp>0得－1<－p<p a－1 k

<0. p

p

由(1)中的结论得 ak＋1 a ＝ k 1＋1p c a－1 k >1＋p· 1p c a1 k ＝cak. 因此ap1

k＋1>c，即ak＋1>cp

， 所以当n＝k＋1时，不等式a1

n>cp

也成立．

综合①②可得，对一切正整数n，不等式a1

n>cp均成立．

再由an＋1a1＋1 cnp a－1 n 可得an＋1an， 即an＋1<an.

综上所述，aa1

n>n＋1>n∈N*p

.

方法二：设f(x)p－1px＋c1－p1

px，x≥cp

，则xp≥c，