则φ′(x)＝

1a

x＋1－a1＋x（1＋x）＝（1＋x） 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax

1＋x(仅当x＝0时等号成立)．

当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0.

即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0， 故知ln(1＋x)≥

ax

1＋x

综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g(1)＋g(2)＋ ＋g(n)＝12n

23＋ ＋n＋1

比较结果为g(1)＋g(2)＋ ＋g(n)>n－ln(n＋1)．

证明如下：

方法一：上述不等式等价于1213＋ ＋1

n＋1<ln(n＋1)，

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>

x

1＋x

x>0. 令x＝1nn∈N1

n＋1＋，则n＋1<lnn下面用数学归纳法证明．

①当n＝11

2

，结论成立．

②假设当n＝k时结论成立，即12＋131

k＋1

k＋1)．

那么，当n＝k＋1时，12＋131k＋111

k＋2k＋2<ln(k＋1)＋k＋2k＋1)＋lnk＋1ln(k＋2)，即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N＋成立．

方法二：上述不等式等价于1123＋ ＋1

n＋1<ln(n＋1)，

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>

x

1＋x

x>0. 令x＝1

nn∈Nn＋11＋，则lnn>n＋1

故有ln 2－ln 1>12

ln 3－ln 2>1

3

，