2n1－n－2

所以，Tn＝.

2＋

B12 导数的应用 21．，[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28 为自然对数的底数．

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围． 21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

1

当a≤g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b； e

当a≥g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

1e

当a<g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在22区间(ln(2a)，1]上单调递增，

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.

1

综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

21e

当a<g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b； 22e

当a≥g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.

2

(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，

则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2. 故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．

1

由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；

2e

当a≥g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．

21e<a<.

22

此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0. 由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，

则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，