所以f′(x)＝

p－1cp－1 c－

1－>0. (1－p)xp＝

ppp x1111

由此可得，f(x)在[，＋∞)上单调递增，因而，当x>cf(x)>f(c＝cpppp1

①当n＝1时，由a1>c>0，即ap1>c可知 p

p－11cc1－p11 1<a1，并且a2＝f(a1)>c，从而可得a1>a2> a2＝1＋1＝a1 1pa1 pp pp1

故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．

p

11

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋1)>f(c，

pp1

即有ak＋1>ak＋2>c

p

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

1

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c

p

20．、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex；

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. 20．解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a. 又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2. 令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.

当x<ln 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，

且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．

(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0， 所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.

(3)证明：①若c≥1，则ex≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex. 故当x>0时，x2<cex.

取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.

1

②若0<c<1，令k＝，要使不等式x2<cex成立，只要ex>kx2成立．

c而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立． 2x－2

令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－.

xx所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．