2013年中考数学专题复习第二十四讲：与圆有关的(2)

考点：切线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义. 分析： (1)由 AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC=90° ,又由 PC=10,PA=6, 利用勾股定理即可求得 AC 的值，继而求得⊙O 的半径； (2)由 AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90° ,又由同 角的余角相等，可得∠BAC=∠P,然后在 Rt△PAC 中，求得 cos∠P 的值，即可得 cos∠BAC 的值. 解答：解： (1)∵AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线， ∴CA⊥PA,即∠PAC=90° ,∵PC=10,PA=6,∴AC= PC 2 PA2 =8,∴OA=

1 AC=4,∴⊙O 的半径为 4; 2

(2)∵AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，∴∠ABC=∠PAC=90° ,∴∠P+∠C=90° ,∠BAC+∠C=90° , ∴∠BAC=∠P,在 Rt△PAC 中，cos∠P=

3 PA 6 3 ,∴cos∠BAC= . 5 PC 10 5

例 2 (2012 珠海)已知，AB 是⊙O 的直径，点 P 在弧 AB 上(不含点 A、B) ,把△AOP 沿 OP 对折，点 A 的对 应点 C 恰好落在⊙O 上. (1)当 P、C 都在 AB 上方时(如图 1) ,判断 PO 与 BC 的位置关系(只回答结果) ; (2)当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时(如图 2) , (1)中结论还成立吗？证明你的结论； (3)当 P、C 都在 AB 上方时(如图 3) ,过 C 点作 CD⊥直线 AP 于 D,且 CD 是⊙O 的切线，证明：AB=4PD.

考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理. 分析： (1)PO 与 BC 的位置关系是平行； (2) (1)中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形 APO 与三角形 CPO 全等，根据全等三角形的对应角相等可 得出∠APO=∠CPO,再由 OA=OP,利用等边对等角得到∠A=∠APO,等量代换可得出∠A=∠CPO,又根据同弧 所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB,再等量代换可得出∠COP=∠ACB,利用内错角相等两直线平行，可得出 PO 与 BC 平行； (3)由 CD 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OC 垂直于 CD,又 AD 垂直于 CD,利用平面内垂直于同一条直 线的两直线平行得到 OC 与 AD 平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP,再利用折叠的性质得到 ∠AOP=∠COP,等量代换可得出∠APO=∠AOP,再由 OA=OP,利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可 得出三角形 AOP 三内角相

等，确定出三角形 AOP 为等边三角形，根据等边三角形的内角为 60° 得到∠AOP 为 60° , 由 OP 平行于 BC,利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60° ,再由 OB=OC,得到三角形 OBC 为等边 三角形，可得出∠COB 为 60° ,利用平角的定义得到∠POC 也为 60° ,再加上 OP=OC,可得出三角形 POC 为等边

三角形，得到内角∠OCP 为 60° ,可求出∠PCD 为 30° ,在直角三角形 PCD 中，利用 30° 所对的直角边等于斜边的 一半可得出 PD 为 PC 的一半， 而 PC 等于圆的半径 OP 等于直径 AB 的一半， 可得出 PD 为 AB 的四分之一， 即 AB=4PD, 得证. 解答：解： (1)PO 与 BC 的位置关系是 PO∥BC; (2) (1)中的结论 PO∥BC 成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO,∴∠APO=∠CPO,又∵OA=OP, ∴∠A=∠APO,∴∠A=∠CPO,又∵∠A 与∠PCB 都为 PB 所对的圆周角，∴∠A=∠PCB,∴∠CPO=∠PCB, ∴PO∥BC; (3) ∵CD 为圆 O 的切线， ∴OC⊥CD, 又 AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠APO=∠COP, 由折叠可得： ∠AOP=∠COP, ∴∠APO=∠AOP,又 OA=OP,∴∠A=∠APO,∴∠A=∠APO=∠AOP,∴△APO 为等边三角形，∴∠AOP=60° , 又∵OP∥BC ,∴∠OBC=∠AOP=60° ,又 OC=OB ,∴△BCO 为等边三角形，∴∠COB=60° ,∴∠POC=180° (∠AOP+∠COB)=60° ,又 OP=OC,∴△POC 也为等边三角形，∴∠PCO=60° ,PC=OP=OC,又∵∠OCD=90° , ∴∠PCD=30° ,在 Rt△PCD 中，PD=

1 1 1 PC,又∵PC=OP= AB,∴PD= AB,即 AB=4PD. 2 2 2

点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含 30° 直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理， 以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键. 对应训练 1. (2012 玉林)如图，已知点 O 为 Rt△ABC 斜边 AC 上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与 BC 相切于 点 E,与 AC 相交于点 D,连接 AE. (1)求证：AE 平分∠CAB; (2)探求图中∠1 与∠C 的数量关系，并求当 AE=EC 时，tanC 的值.

考点：切线的性质；特殊角的三角函数值. 专题：探究型. 分析： (1)连接 OE,则 OE⊥BC,由于 AB⊥BC,故可得出 AB∥OE,进而可得出∠2=∠AEO,由于 OA=OE,故 ∠1=∠AEO,进而可得出∠1=∠2; (2) 由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC, , 因为∠1=∠AEO, ∠OEC=90° , 所以 2∠1+∠C=90° ; 当 AE=CE 时，∠1=∠C,再根据 2∠1+∠C=90° 即可得出∠C 的度数，由特殊角的三角函数值得出 tanC 即可. 解答： (1)证明：连接 OE, ∵⊙O 与 BC 相切于点 E, ∴OE⊥BC, ∵AB⊥BC, ∴AB∥OE, ∴∠2=∠AEO, ∵OA=OE, ∴∠1=∠AEO, ∴∠1=∠2,即 AE 平分∠CAB;

(2)解：2∠1+∠C=90° ,tanC= ∵∠EOC 是△AOE 的外角， ∴∠1+∠AEO=∠

EOC,

3 . 3

∵∠1=∠AEO,∠OEC=90° , ∴2∠1+∠C=90° , 当 AE=CE 时，∠1=∠C, ∵2∠1+∠C=90° ∴3∠C=90° ,∠C=30° ∴tanC=tan30° =

3 . 3

点评：本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，在解答此类题目时要熟知 “若出现圆的 切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系”.

2. (2012 泰州)如图，已知直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A,OA=5.OA 与⊙O 相交于点 P,AB 与⊙O 相切于 点 B,BP 的延长线交直线 l 于点 C. (1 …… 此处隐藏：2625字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……