2003年全国各地高考数学试题与解答

fn(x) nx

n 1

n(x a)

n 1

,

n 1n 1

所以fn(n) n[n (n a)].

当x a 0时,fn(x) 0.

当x a时,fn(x) x (x a)是关于x的增函数.因此,当n a时,(n 1) (n 1 a)

n

n

n

n

n

n

n (n a)

nnnn

∴fn 1(n 1) (n 1)[(n 1) (n 1 a)] (n 1)(n (n a))

(n 1)(n n(n a)

n

n 1

) (n 1)fn(n).

即对任意n a,fn 1(n 1) (n 1)fn(n).

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，

满分14分.

（Ⅰ）解：∵Qn(an 1,an),Pn 1(

∴an 1

2

1a

an,an),Qn 1(

2

22

1a

an,

2

1a1

2

an).

4

1a

an, ∴an

2

1a

an 1

211221 22

( an 2) ()an 2 aaa

211 2111 2 2223

22

()( an 3) ()an 2

aaa

n 2n 1n 1an 1an 111n 1

()1 2 2a12 ()2 1a12 a(1)2， ∴an a(1)2.

aaaa

（Ⅱ）证明：由a=1知an 1 an, ∵a1

∵当k 1时,ak 2 a3

n

1

∴ (a a)a kk 1k 2

16k 1

2

12

, ∴a2 1,a3 1.

4

16

116

n

.

ak 1)

116

(a1 an 1)

2

n 1

(a

k 1

132

k

.

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an a1

n

n

k 1

k

,

2 1

n

因此 (ak ak 1)ak 2

k 1

(a

k 1

2

1

a

21

)a

21

k 1

i 1

(a1 a1)a1

ii 12i 2

2 1

n

(1 a1)a

21

a

i 1

3i1

(1 a1)a

21

a1

331

=

a1

5

21

1 a

1 a1 a

1 .3