空间解析几何与向量代数(8)

陀螺就在原地旋转，并不移动，能量表现在有一种垂直向上或向下的力，使陀螺保持直立不倒．

(1)向量积的定义

定义 两向量a 与b 按例方式确定一个向量c ，

(1)c ⊥b 且c ⊥a ，即c 垂直于向量a ,b 所决定的平面，

且按a ,b ,c 顺序构成右手系；

(２)c 的模|c |=|a ||b |sin(a ,b )．则称向量c 为a ,b 的向 量积，记作a ×b ．即c =a ×b ．

因为向量积的运算符号是‘×’，故也直观地称叉积．

向量积的模的几何意义，表示以向量a 与b 为边所

构成的平行四边形的面积．8向量积有以下运算性质： (1)a ×a =0；

(2)a ×0=0，其中0是零向量；

(3)b ×a =-a ×b ；

(4)数乘结合律：

（λa ）×b =a ×(λb )= λ（a ×b ）， 其中λ是任意实数；

(5)左、右分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c ； a ×(b +c )=a ×c +a ×b ．

性质(3)说明，向量的向量积不满足交换律．如任意两个基向量的向量积，

i ×j =k , j ×k =i , k ×i =j ，而j ×i =-k , k ×j =-i , i ×k =-j ．

分配律有左右之分：使用左分配率的向量只能在‘×’的左边；

使用右分配率的向量则只能在‘×’的右边．结合律只能是对实数的结合，向量本身也不成立结合律，例如(a ×b )×c 与a ×(b ×c )一般是两个不同的向量．

2．向量积的坐标表示式

设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ，根据向量积的运算律，有

a ×

b =( a x i +a y j +a z k )×(b x i +b y j +b z k )=a x i ×(b x i +b y j +b z k )＋a y j ×(b x i +b y j +b z k )＋

a z k ×(

b x i +b y j +b z k )=(a y b z -a z b y )i -(a x b z -a z b x )j +(a x b y -a y b x )k ．

此即向量积的坐标表示式．为了便于记忆，把上述结果写成三阶行列式形式，然后按三阶行列式展开法则，关于第一行展开，即 i j k a ×b = =i -j + k ． 例 设a =-i +2j -k ，b =2i -j +k ，求a ×b ．

解

a ×

b = = i - j + k =i - j -3k ．# 例

设已知点A (1,-2,3), B (0,1,-2)及向量a =(4,-1,0)，求a ×AB 及AB ×a ．

解 =(0-1)i +[1-(-2)]j +(-2-3)k =-i +3j -5k ，

a ×AB =i -j +k =5i +20j +11k ； AB ×a =-j -11k ．#

例 已知三点A (1,0,0),B (-1,1,4),C (2,5,-3)，求以这三点为顶点的空间三角形的面积S ． 解 AB =(-1-1, 1-0, 4-0)=(-2,1,4)；AC =(2-1, 5-0, -3-0)=(1,5,-3)，

a a x a y z

b x b y b z a y a z a x a z a x a y b x b y b y b z b x b z i j k -1 2 -12 -1 1 2 -1 -1 1 -1 -1 2 1 -1 2 2 -1-1 0 3 -5 4 0 4 -1-1 3-1 -5