空间解析几何与向量代数(9)

所以i j k

AB ×AC = =i -j + k =-23i -2j -11k ；

9 |AB ×AC |=654)11()2(23222=−+−+．

S =79.122

65421≈=S ．# 7.2-3 向量的关系及判断

1.向量垂直及其判定

若非零向量a ,b 的夹角(a ,b )=90°，则称向量a ,b 垂直，且记作a ⊥b ． 当a ⊥b ，据(9-8)立即可得a ⋅b =|a ||b |⋅cos (a ,b )=0；反之，若a ⋅b =0且a ,b 为非零向量，则必定有cos (a ,b )=0，(a ,b )=90°，即a ⊥b ．由此可得 定理1 两个非零向量a ,b 垂直 ⇔ a ⋅b =0．

定理1以坐标形式如下：

定理1′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ，a ,b 垂直 ⇔ a x b x +a y b y +a z b z =0．(9-13)

2．两个向量平行及其判定

若把向量a ,b 的始点移到同一点后，它们的终点与始点都位于同一条直线上，则称两个向量平行，记作a ∥b ．

规定零向量0平行于任何向量．

平行向量也称共线向量，如图所示，a ∥b , a ∥c ，也可以说 a ,b ,c 是共线的．

共线向量的方向或相同或相反，但模可以不等．

定理2 a ∥b ⇔ 存在实数λ使 a =λb ． (9-14) 定理2的坐标形式如下：

定理2′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ．为两个非零向量，则

a ∥

b ⇔ z z y y x x b a b a b a ==． (9-15)

其中若分母某坐标分量为0，则分子对应坐标分量也为0． 又若a ∥b ，则(a ,b )=0或π，由此sin (a ,b )=0．

定理3 两个非零向量a ∥b ⇔ a ×b =0．

例

试判定下列向量中哪些是平行的，哪些是垂直的？)2,2,2()2,1,1(),1,1,1()1,1,0(),0,1,1(54321−−=−−=−=−=−=a a a a a 解 ∥5352a a a 所以−=3

a 4151314151310a a a a a a a a a a a a ⊥⊥⊥=⋅=⋅=⋅，，，所以 # 例 求同时垂直于向量和)1,2,2(=a )3,5,4(=

b 的单位向量于和

c .解 a ×b 同时垂直a 和b ，a ×b=i-2j+2k

所求单位向量有两个，即

)22(31)22(2)2(112

22k j i k j i b a b a c +−±=+−+−+±=××±=.# -2 1 4

1 5 -3 1 4 5 -3-

2 4 1 -3-2 1 1 5 b •a c •••