空间解析几何与向量代数(16)

是相邻两圈之间等距为b =2πR ⋅tan θ．称b

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试求等距螺线的方程．

解 如图建立坐标系，其中的x 轴 经过L 与矩形底边交点．任取螺旋线上 一点M (x ,y ,z )，M 在xOy 面上的投影为 M 1，从x 轴正向到OM 1转过的角度为t ， 则

z =M 1M =

b t

⋅π2=(R ⋅tan θ)t ，

x =R cos t , y =R sin t ．

M (x ,y ,z )的坐标满足方程，那么M 必定在螺旋线上．

由此得到等距螺线的方程是

x =R cos t ,

y =R sin t , (t ≥0) (*) z =(R ⋅tan θ)t ，

所得到的方程与曲线的一般式不同，它含有一个参数t ，因此称为等距螺线的参数式方程．#

曲线从本质上来说是一维图形，即曲线上任何一点，如果确定了一个坐标，另外两个坐

标也就跟着被确定了，

也就是说它只有一个自由度．这个本质决定了如果它的方程用参数表示，那么参数就只能有一个．因此曲线参数方程的一般形式应该是

x =x (t ),

y =y (t ), (α≤t ≤β)．

(**) z =z (t )，

例 求参数方程

,

2sin 1,sin cos ,

sin cos t z t t y t t x −=−=+=所表示的曲线Γ． 解 前两个方程两边平方相加得 x 2+y 2=2；

又 y 2=1-2cos t sin t =1-sin2t =z ， 所以曲线方程又能写成

．

z y y x ==+22

2,2x

参数方程表示的曲线Γ是圆柱面x 2+y 2=2与抛物柱面y 2

=z 的交线．其图象如图所示.#

7.4-3. 空间曲线在坐标面上的投影

(1)空间曲线在坐标面上的投影曲线.

在例中，xOy 平面上的圆x 2+y 2

=2，是以Γ为准线、母线于平行z 轴的柱面与坐标面xOy 的截交线，这条截交线称为Γ在xOy 面上的投影曲线；同理，

yOz 平面上的曲线y 2

=x 则是以Γ为准线,母线于平行x 轴的柱面与坐标面yOz 的截交线，这条截交线称为Γ在yOz 面上的投影曲线．得到了曲线在坐标面上的投影曲线，不但可以加强曲线的直 观形象，而且也有助于了解曲线变化范围．

O 2

2

•

•

L x

Σx