空间解析几何与向量代数(12)

例(@) 求出下列旋转曲面Σ的方程：

(1)xOy 平面上的椭圆2222a

y b x +=1绕x 轴和绕y 轴旋转； (2)xOz 平面上的抛物线x 2=az 绕对称轴旋转；

(3)yOz 平面上的双曲线-2

2

22a z b y +=1绕实轴和虚轴旋转；

(4)xOy 平面上直线y =ax +b 绕x 轴和y 旋转．

解 (1)绕x 轴、y 轴旋转所得旋转面的方程依次为22222a

z y b x ++=1, 2

2222a

y b z x ++=1．称此曲面为旋转椭圆面．

(2)绕对称轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程依次为x 2+y 2

=az ．称此曲面为旋转抛物面． (3)绕实轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程为 -22

222a z b y x ++=1，

称此曲面为双叶旋转双曲面；绕虚轴(y 轴)旋转所得旋转面的方程为-22

222a

z x b y ++=1，称此曲面为单叶旋转双曲． z

12

(4)绕x 轴旋转所得旋转面的方程为±22z y +=ax +b ，即y 2

+z 2

=(ax +b )2

x

•

• a •

•

b

a

O

x •

O

-b

a

y

z

O

b

• y -b

a

• 是顶点在(-a

b

,0,0)的圆锥面；绕y 轴旋转所得旋转面的方程为

y =±a 22z x ++b ，即(y -b )2

=a 2

(x 2

+z 2

)，

它是顶点在(0,b ,0)的圆锥面．特别地，若b =0，即母线为经过原点的直线y =ax ，则绕x 或

y 轴旋转而成的圆锥面的顶点都在原点，方程成为

以x 轴为旋转轴：a 2x 2=y 2+z 2；以y 轴为旋转轴： y 2= a 2(x 2+z 2

)．#

Γ

L

7.3-3 柱面

(1)柱面的一般定义.

若动点在直线L 上移动，同时直线L 又沿定曲线Γ平行移动(简称动直线L 沿定曲线Γ平行移动)，称这样的动点所形成的轨迹Σ为柱面．定曲线Γ称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线．

(2)一类特殊柱面的方程.