空间解析几何与向量代数(2)

2．向量与数的乘法

设λ为一实数，向量a 与λ的乘积记作λa ，规定它为满足下

列条件的一个向量：

(1)|λa | =|λ|⋅|a | ；

(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向

相反；当λ=0或a =0时，则λa =0．

例如，设a 为已知的非零向量，当λ分别取-2, 2

1, 2时，向量λa 如图所示．特别地，当a ≠0，

(1) (-1)⋅a =-a ，即a 的相反向量是原向量数乘-1的结果；

(2)记与向量a 方向相同的单位向量为e a ，

e a =|

|1a a ． 向量与数的乘法满足以下运算律，其中设λ,μ为实数，a ,b 为向量：

(1) 结合律λ(μa )= （λμ）a = μ(λa )；

(2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb ．

例1 见课本.

292P 定理 1 设向量, 则向量b 平行于0a ≠r r r a r 的充分必要条件是存在唯一的实数λ, 使得

b a λ=r r . 证明(略)

注: 定理1是建立数轴的理论依据.

7.1-3 空间直角坐标系

在空间取三条相互垂直且相交于原点的数轴——x 轴, y 轴和z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O -xyz ．一般在各数轴上的单位长度相同．

2把x 轴, y 轴放置在水平平面上，z 轴垂直于水平平面，并

规定x 轴, y 轴和z 轴的位置关系遵循右手螺旋法则：让右手的

四个手指指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向转向y 轴的

正向，大姆指所指的方向为z 轴的正向．因此空间直角坐标系

也可以认为，是平面直角坐标系xOy 按右手法则，在原点添加

z 轴所得． 在空间直角坐标系O -xyz 中，点O 称为坐标原点，简称原 点；x 轴, y 轴, z 轴又分别称为横轴、纵轴、竖轴，三条数轴统

称为坐标轴；由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，共 有xOy 、yOz 、zOx 三个坐标面； 三个坐标面把空间分隔成八 个部分，每个部分依次分别称为第一、第二直至第八卦限，其 中第一卦限位于x ,y ,z 轴的正向位置，第二至第四卦限也位于 xOy 面的上方，按逆时针方向排列；第五卦限在第一卦限的正 下方，第六至第八卦限也在xOy