空间解析几何与向量代数(15)

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相同符号的坐标轴的平面去切割曲面，得到交线都是椭圆． (4)把例@(4)中b =0情况下的两个个平方项系数改为不同，成为方程

2222b y a x +=z 2 或2222c z a x +=y 2 或2222c z b y +=x 2(a ,b >0). (9-39) 它的图象称为椭圆锥面，以垂直于等号右端项的坐标轴的平面 去切割曲面，得到交线都是椭圆或点．

上述曲面公共特征，是他们的方程都是x ,y ,z 的二次方程．

一般地，若其方程为x ,y ,z 的二次方程，则称它为二次曲面．可以证明，所有的二次曲面如果有意义，那么它的图象只有五类：椭球面、抛物面、双曲面(单叶或双叶)、锥面以及我们还没有学过的双曲抛物面(

标准的方程形式为2

2

22b y a x −

=±z )，只是曲面的位置不那样规范． [作业]: 习题7-3: 1, 2, 5, 6, 7.

§7.4 空间曲线及其方程

7.4-1 空间曲线方程的概念及一般方程

常见的空间曲线Γ，常常是由两张空间曲面Σ1： F 1(x ,y ,z )=0, Σ2：F 2(x ,y ,z )=0相交而成的，因此点 M (x ,y ,z )∈Γ ⇔ M (x ,y ,z )∈Σ1且M (x ,y ,z )∈Σ2 ⇔ M 的坐标(x ,y ,z )同时满足Σ1, Σ2的方程．所以的方程可以表示为

.

0),,(,0),,(21==z y x F z y x F 空间曲线的这种方程形式称为一般方程．

例 方程组 表示怎样的曲线？

3

,252

2

2

==++z y 解 方程组表示球心在原点、半径为5的球面：x 2+y 2+z 2=52

与平面z = 3的交线，它是在平面z = 3上圆心为(0,0,3)、半径为4的一个圆．#

例 求球面x 2+y 2+z 2=(2R )2与圆柱面(x -R )2+y 2=R 2解 截交线的方程：

．

2222

222)(,)2(R y R x R z y x =+−=++圆柱面过球心且其直径与球面的半径相等，得图象如图所示(图上仅画出了上半球面上的截交线)．这条 交线在数学上常称为维维尼曲线．#

7.4-2．空间曲线的参数方程

例 在一张透明的矩形纸上有一条与底边成θ角的直 线L ，现在把它卷成半径为R 的圆筒，若忽略纸的厚度， 则矩形成为直圆柱面，L 成为绕卷圆柱面上的曲线．称此曲线为等距螺线，称θ为螺旋角，它的特征

a

• b

• O x

Σ1

Σ2

Γ

O

O

• 2R •