空间解析几何与向量代数(17)

对一般的空间曲线Γ，以Γ准线，作母线平行于z 轴的柱面Σz ，称Σz 与xOy 平面的交线L z 为

Γ在xOy 平面上的同样曲线(简称投影)，称柱面Σz 为Γ关于xOy 面上的投影柱面(图)．

类似地，若柱面的母线平行于x 轴或y 轴，得到的是Γ在yOz 平面或xOz 平面上的投影L x ,L y 及相应的投影曲面Σx , Σy ．

(2)从曲线的一般方程求投影曲线的方程

为了求出空间曲线Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要能把Γ表示成方程

0),,(,

0),(==z y x g y x f (1)

就行了．因为方程f (x ,y )=0表示母线平行于z 轴的柱面Σz ，

这样就把Γ表示成了Σz 与另一个曲面g (x ,y ,z )=0的交线，Σz 正好是Γ关于坐标面xOy 的投影柱面，因此

,0),(==z y x f ． 即为Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程．

因此以对以一般方程

),,(,0),,(==z y x G z y x F (2)

给出的空间曲线Γ，为了求得它在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要作等价变换，在(2)的两个方程之一中消去z ，使之成为形式(1)．

同理，若在(2)的两个方程之一中消去x 或y ，使之成为形式

0),,(,0),(==z y x g z y f 或 0),,(,

0),(==z y x g z x f ，

那么 0

,0),(==x z y f ， 0,

0),(==y z x f 就依次是Γ在yOz 平面上的投影L x 和Γ在xOz 平面上的投影L y 的方程的方程．

例 求曲面4z =2x 2+y 2与平面x -z =0的交线Γ，在xOy 平面上的投影曲线L z 和yOz 平面上的投影曲线L x 的方程．

解 Γ的方程为

2224,

0y x z z x +==−． 为了求得L z 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去z ．为此，把第一个方程的z =x

代入第二个方程，得

17

4x =2x 2

+y 2

，即2(x -1)2

+y 2

=2 或 (x -1)2

+2

2

y =1，

所以Γ的方程可写为 1

2

)1(,

022

=+−=−y x z x ．由此可得L z 的方 程为0

12

)1(2

2

==+−z y x ．这是xOy 平面上的一个椭圆 ． 为了求得L x 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去x ．为此，把第一个方程的

x =z 代入第二个方程，得

4z =2z 2

+y 2

，即2(z -1)2

+y 2

=2 或 (z -1)2

+2

2

y =1，22 •

L x

• 1•

O •