空间解析几何与向量代数(3)

x 如图所示，设M 为空间的任意一点，M 1为它在xOy

平面上的正投影，设M 1在xOy 坐标系中的坐标为(x ,y )；

过M 作z 轴的垂线，垂足R 在z 轴上的坐标为z ，这样点 M 就唯一地确定了一组三元有序数组(x , y , z )．反之，如果 任给一组三元有序数组(x , y , z )，过xOy 平面上坐标为(x ,y ) 的点M 1作xOy 平面的垂线l ，过z 轴上坐标为z 的点R 作

z 轴的垂直平面，可得与l 唯一的交点M ．称这样的三元 有序实数组(x ,y ,z )为点M 在该空间直角坐标系中的坐标，

记作M (x ,y ,z )或M =(x ,y ,z )，x ,y ,z 分别称为点M 的横坐标、

纵坐标和竖坐标，也称为点M 坐标的x ,y 和z 分量．上述讨论也表明，在建立了空间直角坐标系后，就能在空间点M 与其坐标之间建立一一对应的关系．

原点O 的坐标均为0，即O (0,0,0）；点M 在xOy 坐标面上⇔M =(x ,y ,0)；点M 在x 轴上⇔M =(x ,0,0)．类似可得其它坐标面或坐标轴上点的坐标特征．八个卦限内点的三个坐标均不为零，各分量的符号由点所在卦限确定．

类似于平面直角坐标系下的情形，可以讨论关于坐标轴、坐标面、坐标原点对称的点的坐标关系．例如，与点(x , y , z )关于x 轴对称的点为(x , -y , -z )；与点(x , y , z )关于xOy 坐标面对称的点为(x , y , -z )；与点(x , y , z )关于原点对称的点为(-x , -y , -z )等．

例1 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，以顶点A 为原点、过A 的三条棱为坐标轴，建立直角坐标系如图．求长方体各顶点、各个面的中心及长方体中心在该坐标系中的坐标．

解 顶点坐标：A (0,0,0), B (a ,0,0), C (a ,b ,0), D (0,b ,0),

A 1(0,0,c ),

B 1(a ,0,c ),

C 1(a ,b ,c ),

D 1(0,b ,c )； 各面中心坐标：

E 1(2a ,2b ,0), E 2(2a ,2b ,c ), E 3(2a ,0, 2c ), E 4(2a ,b ,2c ), E 5(a ,2b ,2c ), E 6(0,2b ,2c )；长方体中心

F 坐标：F (2a ,2b ,2c )．#

例2 正圆锥母线与中心轴成ϕ角，P 为锥面上一点， 3OP =l ；以圆锥顶点为原点、中心轴为z 轴建立坐标系， OP 1为OP 在xOy 坐标面上的正射影，从x 轴正向到OP 1

的角为α．试用l , ϕ, α表示点P 的坐标． 解 P 坐标的x ,y 分量与P 1在xOy 坐标系中的坐标 相同；OP 1=OP cos(2π-ϕ)=l ⋅sin ϕ，所以P 坐标的x ,y 分量 x =l ⋅sin ϕcos α, y =l ⋅sin ϕsin α；

P 坐标的z 分量是P 在z 轴上投影P 2的坐标，所以 z =l ⋅cos ϕ． 综合之，点P 坐标为(l ⋅sin ϕcos α, l ⋅sin ϕsin α, l ⋅cos ϕ)．# 同时,如果取x 轴, y 轴和z 轴的单位为单位向量,,i j k r r r 或i ,j , k ,则空间中的任意点M 可以看成是原点O 与M 的有向线段,即向量, 其对应于OM OM uuuu r xi y j zk =++uuuu r r r r ,得到向