空间解析几何与向量代数(5)

|MQ |=22z x +，|MR |=22y x +，

其中点Q , R 分别是点M 在y 轴、z 轴上的投影． #

例6 在y 轴上求与点A (1,-3,7)和B (5,7,-5)等距离的点．

解 因为所求的点在y 轴上，故可设它为M (0, y ,0)．根据题意有

|MA |=|MB |，即

()()()()()()2222

220570507301−−+−+−=

−+−−+−y y ，

两边平方去根号，整理后得20y =40，从而有y =2．

所以，所求的点M 的坐标为(0, 2, 0)．#

7.1-4 利用坐标作向量的线性运算

利用向量的坐标可得向量的加法,减法以及向量的数乘运算如下:

在空间中已建立了坐标系O -xyz ．以O 为始点的

三个单位向量i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)称为坐标基向量 a =(x ,y ,z )为已知向量，对应的向径为OM ．OM 在三个 坐标轴上的投影依次OP ,,OR ，则

=x i , OQ =y j , =z k ，

依次称这三个向量为向量a 关于x 轴、y 轴和z 轴的分量． a =OM =x i +y j +z k ，

设 a =(x 1,y 1,z 1)=x 1i +y 1j +z 1k , b =(x 2,y 2,z 2)=x 2i +y 2j +z 2k ，

则 a ±b =(x 1i +y 1j +z 1k )±(x 2i +y 2j +z 2k )=(x 1±x 2)i +(y 1±y 2)j +(z 1±z 2)k ，

所以

a ±

b =(x 1±x 2, y 1±y 2, z 1±z 2)． λa =(λx 1,λy 1, λz 1). 例7 设a =(0,-1,2)，b =(-1,3,4)，求a +b ，2a -b ． 解 a +b =(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6)；

2a -b =(2×0,2×(-1),2×2)- (-1,3,4)=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0)．# 例8 设a =(1, 1,-2)，2a -3b =(-1,3,-4)，求b ．

解 设b =(x ,y ,z )．则 (2×1,2×1,2×(-2))- (3x ,3y ,3z )=(2-3x ,2-3y ,-4-3z )=(-1,3,-4)，

2-3x =-1, x =1；2-3y =3, y =-31；-4-3z =-4, z =0．所以 b =(1, -3

1

,0)．#

例9 设a =2i +3j +6k ，试求方向相反、长度为14的向量b ．

解 e a =

7

1

(2i +3j +6k )， b =14(-e a )=-2(2i +3j +6k )= -4i -6j -12k ．#例2-3 见课本.

296P 7.1-5 向量的模,方向角,投影

向量的模: 若a =(x ,y ,z )，则|a |=222z y x ++ ;

AB uuu r

=2

12212212)()()(z z y y x x −+−+−例4-6 见课本.

297298P − 方向角:1. 向量间夹角计算公式:

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