高考真题

（Ⅱ）略 20.若f1(x)=3且f(x)=

x p1

，f2(x)=2i3

x p2

，x∈R,p1,p2为常数，

f1(x),f1(x)≤f2(x)

>,fxfxfx 2() 2()1()

； （Ⅰ）求f(x)=f1(x)对所有实数成立的充要条件（用p1,p2表示）（Ⅱ）设a,b为两实数，a<b且p1,p2(a,b),若f(a)=f求证：f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为

(b)

b a

[m,n]的长度定义为n m）． 2

x p1

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）f(x)=f1(x)恒成立 f1(x)≤f2(x) 3

≤2i3

x p2

3x p1 x p2≤3log32

x p1 x p2≤log32（*）

因为x p1 x p2≤(x p1) (x p2)=p1 p2 所以，故只需p1 p2≤log32（*）恒成立

综上所述，f(x)=f1(x)对所有实数成立的充要条件是：p1 p2≤log32 （Ⅱ）1°如果p1 p2≤log32，则的图象关于直线x=p1对称．因为f(a)=f

(b)，所以区间

[a,b]关于直线x=p1 对称．

因为减区间为[a,p1]，增区间为[p1,b]，所以单调增区间的长度和为2°如果p1 p2>log32.

x p+log2x p

323,x∈[p2,b] 31,x∈[p1,b]（1）当p1 p2>log32时.f1(x)= p x，f2(x)= p x+log2

231

3,,3,,xapxap∈∈[1][2]

b a

2

当x∈[p1,b]，

f1(x)

=3p2 p1 log32<30=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0，所以f1(x)<f2(x)， f2xx p1

故f(x)=f1(x)=3当x∈[a,p2]，

f1(x)

=3p1 p2 log32>30=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0，所以f1(x)>f2(x) f2xp2 x+log32

故f(x)=f2(x)=3