高考真题

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

，且公差d≠0，若将此数列删19.（Ⅰ）设a1,a2, ,an是各项均不为零的等差数列（n≥4）去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

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a1

的数值；②求n的所有可能值； d

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1,b2, ,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时，a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．

若删去a2，则有a3=a1ia4,即(a1+2d)=a1i(a1+3d)

2

2

化简得a1d+4d＝0，因为d≠0，所以

2

2

a1

=4 ； d

2

若删去a3，则有a=a1ia4，即(a1+d)=a1i(a1+3d)，故得综上

a1

=1． d

a1

=1或－4． d

②当n＝5 时，a1,a2,a3,a4,a5 中同样不可能删去首项或末项．

若删去a2，则有a1ia5＝a3ia4，即a1i(a1+4d)=(a1+2d)i(a1+3d)．故得若删去a3，则a1ia5＝a2ia4，即a1i(a1+4d)=(a1+d)i(a1+3d)． 化简得3d＝0，因为d≠0，所以也不能删去a3；

若删去a4，则有a1ia5＝a2ia3，即a1i(a1+4d)=(a1+d)i(a1+2d)．故得

2

a1

=6 ； d

a1

= 2 ． d

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an 2，an 1，an 中， 由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1ian＝a3ian 2，这与d≠0 矛盾；同样若删 去an 2也有a1ian＝a3ian 2，这与d≠0 矛盾；若删去a3，…，an 2 中任意一个，则必有

a1ian＝a2ian 1，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈{4，5}．