高考真题

（Ⅰ）求tan(α+β)的值； （Ⅱ）求α+2β的值．

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的cosα=

，因为α,β为锐角，所以sinα

= ,cosβ=,sinβ=

105105

1

2

因此tanα=7,tanβ=（Ⅰ）tan(α+β)=

tanα+tanβ

= 3

1 tanαtanβ

（Ⅱ） tan2β=

2tanβ4tanα+tan2β

tan2=，所以+== 1 αβ()2

1 tanβ31 tanαtan2β

3π3π

，∴α+2β= 24

∵α,β为锐角，∴0<α+2β<

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；

（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，

∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.

又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．

D

O

P

C

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定

污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

A

B

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad) ，则OA=

AQ10

, 故 =

cosθcosθ