《应用型本科线性代数及其应用》习题参考解答(17)

201

故B A E 030

102

19、已知矩阵A满足A2 A 2E，证明A，A 2E均可逆；并求A 1，(A 2E)。 证明：(

1

AEAE )A E，故A可逆，且A 1 。 2222

AE2

)。 22

A2 A 2E，故A 2E可逆，且(A 2E) 1 (A 1)2 (

k

20、设A 0，其中A为方阵，k为大于1的正整数，证明：

(E A) 1 E A A2 Ak 1

证明：(E A)(E A A A故(E A)

1

2

k 1

) E Ak E

E A A2 Ak 1。

21、若A为可逆矩阵，并且AB BA，试证：A 1B BA 1。 证明：A(AB) A(BA)，(AA)B (AB)A，B (AB)A 从而 BA

1 1

1

1

1

1

(A 1B)(AA 1) A 1B。

*

22、若三阶矩阵A的伴随矩阵为A，且A 解：(3A)

1

1 1*

，求(3A) 2A。 2

2A*

1 112

A 2AA 1 A 1 A 1 ( )A 1 333

28116

( )3A 1

327A27

23、已知

11 2

A 3 12

1 10

设f(x) x 2x 1，求f(A)。

2

2 3 2 f(A) 13 3解：

34 2