高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复(18)

（1）求椭圆C的离心率

（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；

（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切.

【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为.

∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2.

因此a=2，c=.

故椭圆C的离心率e=；

（2）直线AB与圆x2+y2=2相切.

证明如下：

设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.

∵OA⊥OB，

∴，即tx0+2y0=0，解得.

当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得.

故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=.

此时直线AB与圆x2+y2=2相切.

当x0≠t时，直线AB的方程为，

即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0.

圆心O到直线AB的距离d=.