高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复(16)

【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得

f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，

此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，

所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，

从而f（x）≤f（0）=0.

（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”

令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，

当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，

当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，

所以g（x）在区间[0，]上单调递减，

从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，

当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，

g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：

x （0，x0） x0 （x0，）

g′（x）+ ﹣

g（x）↑↓

因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，

所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，

当且仅当

综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，

当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，

所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题.