2012级高数A下复习题(习题)(5)

六、球坐标系下三重积分的计算

1、设 是由x y (z 2) 1所确定的球体，试将

2 0

2

2

2

f(x2 y2 z2)dv化成球面坐标下的三次积分式。

答：

f(x2 y2 z2)dv

2

2

d d f(r2 22rcos 2)r2sin dr

1

2、设Ω是由闭曲面x y z 2z所围的立体，计算I

2

2

（答：(z 1)dv。

4

） 15

3、设f(t)连续，且f(0) 0,f (0) 1，求lim

1t 0 t4

f(

x2 y2 z2)dxdyd，z其中 是由球面

x2 y2 z2 t2围成的立体。（答：1）

七、功的计算，曲线积分与路径无关性

1、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则在D内与

Pdx Qdy路径无关的条件

L

Q P

,(x,y) D是( ). x y

(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 答：C 2、设I

C

P Qy2 x2 yx

2，所以（ ）。 2dy，因为22222

y x(x y)x yx y

A．对任意闭曲线C，有I 0； B．在曲线C不围住原点时，有I 0；

C．因

P Q

与在原点不存在，故对任意的闭曲线C，有I 0； y x

D．在闭曲线C围住原点时I 0，不围住原点时I 0。

答：B

3、已知曲线积分

L

yf(x)dx [2xf(x) x2]dy在右半平面(x 0)内与路径无关，其中f(x)可微，则f(x)应

满足的微分方程是 。

1

f(x) 1 2x 2

4、已知力场 F(x,y) x(x y)i xyj ，质点从原点出发沿着x轴运动到点(1,0)，然后再沿直线段到(0,1)，

答：f (x)

再沿着y轴回到原点，求力所做的功 。

C

C

22

解：w F dr x(x y)dx xydy (y x)dxdy

D

dx

11 x0

11

(y x)dy [y3 xy]1dx 0

0312

2

1

5、证明:

xdx ydy

在整个xoy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出一

x2 y2