在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，

所以AG 2BE 12分 在△PAG中，PA

2，AG

PG

所以PA AG PG，即PA AG．……………………………………………………………13分

因为sin APK

AGPG

3

2

2

2

．

所以直线AP与平面PBC

所成角的正弦值为分

3

．…………………………………………………14

解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E xyz，……………………………………………………………………8分 则A 0,

2,0 ，B

于是AP 0,1,

0,0，C

0,2,0 ，P0,

，PB

PC 0,3, Bn n PB 0,则 n PC 0.

y 0,即 3y 0.

取y 1，则z x

所以平面PBC的一个法向量为n

．………………………………12分

设直线AP与平面PBC所成的角为 ，

AP n 则sin cos AP,n AP n

3

3

．

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

．………………………………14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系