这就是说，当n k 1时，对任意x 0，也有f(x) gk 1(x)． 由①、②知，当x 0时，都有f(x) gn(x)．……………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn 1 e．

由（2）知，当x 0时，对任意正整数n，都有f(x) gn(x)． 令x 1，得gn 1 f 1 =e．

所以gn 1 e．……………………………………………………………………9分

111 2 2 2 2

再证对任意正整数n，1 ． 1 1 g1 n

2!3!n! 2 3 4 n 1

1

2

3

n

要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式

n

1

成立．

n! n 1

2

n

n 1

即要证明对任意正整数n，不等式n! （*）成立．……………………………………10分

2

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

2

1

②假设当n k（k N）时，不等式（*）成立，

k 1

即k! ．……………………………………………………………………11分

2 k 1 k 1

则 k 1 ! k 1 k! k 1 2

2 2

k 2

2 k 1 2

k 1

k 1

k 1

k 1

*

k

kk 1

．

因为

k 1

k 2 k 1 1

1

k 1

Ck 1 Ck 1

01

1

Ck 1 k 1 k 1

k 1

1

2，…12

分

k 1

所以 k 1 ! 2

2

k 1

k 2 2

k 1

．………………………………………13分

这说明当n k 1时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．