22

所以S1 S2的取值范围为 0,1 ．…………………………………………14分

说明：由S12 S22 5 x12 4x22 5 4x1x2 1，得 S1 S2

2

2

max

1，给1分．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

x

（1）证明：设 1(x) f(x) g1(x) e x 1，

所以 1 (x) ex 1．…………………………………………………………1分 当x 0时， 1 (x) 0，当x 0时， 1 (x) 0，当x 0时， 1 (x) 0．

即函数 1(x)在( ,0)上单调递减，在(0, )上单调递增，在x 0处取得唯一极小值，………2分

因为 1(0) 0，所以对任意实数x均有 1(x)≥ 1(0) 0． 即f(x) g1(x)≥0，

f(x1()3（2）解：当x 0时，f(x) gn(x)4分

用数学归纳法证明如下：

①当n 1时，由（1）知f(x) g1(x)．

*

②假设当n k（k N）时，对任意x 0均有f(x) gk(x)，……………5分

令 k(x) f(x) gk(x)， k 1(x) f(x) gk 1(x)，

1 x f(x) gk(x)， 因为对任意的正实数x， k 1 (x) f x gk

由归纳假设知， k 1 (x) f(x) gk(x) 0．……………………………6分 即 k 1(x) f(x) gk 1(x)在(0, )上为增函数，亦即 k 1(x) k 1(0)， 因为 k 1(0) 0，所以 k 1(x) 0． 从而对任意x 0，有f(x) gk 1(x) 0． 即对任意x 0，有f(x) gk 1(x)．