2012广东高考数学理科试题及答案(word版)

所以S OAB 设t

1m n

2

12

2

|AB| h

1

12

n (1,3)，所以，t

(,1) 23

，由0 n2 4，得m2 n2 3

1

S OAB

12

t (,1)

312

所以，当t

时，S OAB面积最大，最大为

。

此时，M(0, 21.（本小题满分14分）

设a 1，集合A x R|x 0 ,B x R|2x2 3(1 a)x 6ax 0 ，D A B （1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数f(x) 2x3 3(1 a)x2 6ax在D内的极值点。 解：（1）对于方程2x2 3(1 a)x 6a 0

判别式 9(1 a)2 48a 3(a 3)(3a 1) 因为a 1，所以a 3 0 ① 当

13

a 1时， 0，此时B R，所以D (0, )； 13

② 当a 当a

13

时， 0，此时B {x|x 1}，所以D (0,1) (1, )；

2

时， 0，设方程2x 3(1 a)x 6a 0的两根为x1,x2且x1 x2，则

x1

4

，x2

4

B {x|x x1或x x2}

③ 当0 a

13

时，x1 x2

32

(1 a) 0，x1x2 3a 0，所以x1 0,x2 0

此时，D (x,x1)

(x2, )

4

4

)

④ 当a 0时，x1x2 3a 0，所以x1 0,x2 0

2012广东高考数学理科试题及答案(word版)

此时，D (x2, ) 4

)

（2）f (x) 6x2 6(1 a)x 6a 6(x 1)(x a)，a 1

所以函数f(x)在区间[a,1]上为减函数，在区间( ,a]和[1, )上为增函数 ① 当

13

a 1时，因为D ，所以f(x)在D内没有极值点； 13

② 当a 时，D (0,1) (1, )，所以f(x)在D内有极大值点a

13

13

；

③ 当0 a 时，

4

4

D )

由0 a

13

，很容易得到

4

4

a 1

（可以用作差法，也可以用分析法） 所以，f(x)在D内有极大值点a； ④ 当a 0时，

4

D )

由a

04

1

此时，f(x)在D内没有极值点。 综上所述：

当0 a 当

13

13

时，f(x)在D内有极大值点a。

a 1或a 0时，f(x)在D内没有极值点。