小学四年级奥数基础教程全30讲

的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2， ，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。

例5 检验下面的乘法算式是否正确： 46876×9537＝447156412。

分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4，乘数的九余数是6，4×6＝24，24的九余数是6。乘积的九余数是7。6≠7，所以这个算式不正确。

说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801÷253=1517的正确性，只需检验1517×253=383801的正确性。 练习5

1．求下列各数除以9的余数：

（1）7468251； （2）36298745； （3）2657348； （4）6678254193。 2．求下列各式除以9的余数：

（1）67235＋82564； （2）97256-47823； （3）2783×6451； （4）3477+265×841。 3．用弃九法检验下列各题计算的正确性： （1）228×222＝50616； （2）334×336＝112224； （3）23372428÷6236＝3748； （4）12345÷6789＝83810105。

4．有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B，数B的各个数位上的数字之和是C，数C的各个数位上的数字之和是D。求D。

第6讲 数的整除性（二）

这一讲主要讲能被11整除的数的特征。 一个数从右边数起，第1，3，5， 位称为奇数位，第2，4，6， 位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位 是奇数位，十位、千位、十万位 是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：

能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。 例1 判断七位数1839673能否被11整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例2 求下列各数除以11的余数： （1）41873； （2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11 =7÷11＝0 7，

所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。 （17+11×2）-32＝7，

所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1 4，所求余数是11-4=7。 例3 求

除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72 7， 11-7=4，所求余数是4。

例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，

奇数位

上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。

例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？

解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，7337，7733。

例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。