小学四年级奥数基础教程全30讲

本讲主要讲an

的个位数的变化规律，以及an

除以某数所得余数的变化规律。

因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2， ，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4， 的个位数字各是什么。

从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：

（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an

的个位数仍然是0，1，5，6。

（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an

的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。

（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。

例1 求67999的个位数字。

分析与解：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。

999÷4＝249 3，

所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999

的个位数字是3。

例2 求291+3291的个位数字。

分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22 3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8。

类似地，3n

的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72 3，

所以3291与33

的个位数相同，等于7。

最后得到291+3291

的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。

例3 求28128-2929的个位数字。

解：由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6。由29÷2＝14 1知，2929的个

位数与91

的个位数相同，等于9。因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。

例4 求下列各除法运算所得的余数：

（1）7855

÷5；

（2）555

÷3。

分析与解：（1）由55÷4＝13 3知，7855

的个位数与83的个位数相同，等于2，所以7855可分解

为10×a＋2。因为10×a能被5整除，所以7855

除以5的余数是2。

（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解。为了寻找5n÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，

再除以3去求。比如，52除以3的余数是1，53

除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因

为52

＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而 53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，

（3×8）×5能被3整除，所以53

除以3的余数与1×5除以3的余数相同。 由上表看出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27 1知，555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2。 例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？

分析与解：1时后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌 20时后，有320个细菌，所以本题相当于“求320÷7的余数”。

由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：

由上表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现。由20÷6＝3 2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。