小学四年级奥数基础教程全30讲

例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

解：能被4整除的数有7756，3728，8064； 能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有234，8865，8064。 例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？ 解：如果56□2能被9整除，那么 5＋6＋□＋2＝13＋□ 应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；

如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。 到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。 例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。 例4 五位数能被72整除，问：A与B各代

表什么数字？ 分析与解：已知

能被72整除。因为72＝8

×9，8和9是互质数，所以

既能被8整除，

又能被9整除。根据能被8

整除的数的特征，要求

能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，

的各位数字之和为

A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。 例5 六位数

是6的倍数，这样的六位数

有多少个？

分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B

能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。 例6 要使六位数

能被36整除，而且所得

的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数

能被4整除，就要

能被4整除，因

此C可取1，3，5，7，9。 要使所得的商最小，就要使

这个六位

数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数

的各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使

尽可能小，应取B＝1，C＝5。

当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，

而且所得商最小，为150156÷36＝4171。 练习4

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？

2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？

3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整