现代控制理论复习课(7)

现代控制理论

的原点是大范围渐进稳定的。

证：

1 x 2 0，解得x1 x2 0 (i) 确定平衡态，令x

22

(ii) 令V(x) a1x1，则 x2

22 (x) 2axx V111 2x2x2 2a2x1x2 0

(x) 2ax2x2不沿任何运动轨迹恒等于0 (iii) 判断V212 (x) 2ax2x2 0，则有x 0或x 0 若V21212

(x)不沿任何运若x1 0，则必有x2 0；若x2 0，则必有x1 0。所以V动轨迹恒等于0，于是原点渐近稳定。

(iv)

且x 时，V(x) ，所以，原点是大范围渐近稳定的。

3 （课后习题4-11）设非线性系统

1 ax1 x2x

5 2 x1 x2 bx2x

试用克拉索夫斯基法确定原点为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。

解：

应用克拉索夫斯基方法

Q(x) [JT(x)P PJ(x)]，取P I，即有

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TPx x Tx (ax1 x2)2 (x1 x2 bx2V(x) x) 0

且有