5. 设T:R R由T(x,y) (x2 y2,xy2 3y,4x 5y)定义，求T在（－1，2）处沿

方向（1，－1）的G－微分。

23

x2 y2 2y 2x x x 22

解：写T y y2xy 3 ， y xy 3y ，知T

4 4x 5y 5

2 4 2

1 1 1 4 1 故所求G－微分为T 2 1 1 5 。

4 1 5

6. 设X、Y是赋范线性空间，T：X Y由Tx Ax y0, x X定义，其

y0 Y，A B(X, Y )，证明T在 x X处F—可微，且求其F—导算子。

解：

x X, h X,T(x h) T(x) A(x h) yo (Ax yo) Ax Ah yo

Ax yo Ah ，

由于A B(X, Y )，且h

7. 设T:R3 R2由T (x,y,z) (3x2 2y,y2 2xz) R2, (x,y,z) R3确定，求T在（1，2，－1）处的F—导数。

1

且T (x) A。 0 0,(h 0),T在x处是F—可微的，

x x 3x2 2y 解：采用列向量表示，T将y变换成 2，故T在 y 处的 F —导数应是变

z z y 2xz

6x

换T的Jacobi矩阵 2z

22y

0 6 20 ，在处，此矩阵为(x,y,z) (1,2, 1) 242 ，2x

在列向量表示下，T在（1，2，－1）处的F—导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变

h1 h1 h1

6 20 3 6h1 2h2 R2故T在（1，h, h R, 换： h2 右端即 22 242 2h1 4h2 2h3 h h h 3 3 3

2，－1）处的F—导数就是将 (h1,h2,h3)变换为(6h1 2h2, 2h1 4h2 2h3)的线性变换。

［备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。］