教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。 §7 曲面上的向量的平行移动

7．1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动 绝对微分 7．2 绝对微分的性质 7．3 自平行曲线

7．4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示 7．5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系 教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。 习题：

1. 证明推论2.3.1，

2. 设X，Y为Banach空间，x(t):[a,b] X是连续抽象函数, 对有界线性算子

T:X Y，证明：Tx在[a,b]上R－可积，并且 Tx(t)dt T x(t)dt。

a

a

bb

3. 设C[a,b]到C[a,b]中的算子T由(Tx)(t)

t

a

(1 s2)[x(s)]2ds给出，T在任一元素x

处是否F－可导？若答案肯定，求导算子T (x)。

4. 设f是R到R中的一个C映射。证明：f在x0 Rn处沿方向h R的G－微分

n

1n

df(x0;h)等于 grad f (x0) hT,

这里 grad f =（

f f f f

,,, ）, h (h1,h2, hn); x1 x2 x3 xn

在f(x1; ,x3) x1x2 xex3 xn 1xn 和 h (1,2,3,0,0, ,0,1),

n

又问：f在x R处的F－导数是什么？x0 (n,n 1, ,3,2,1)的情况下计算df(x0;h)，

23n

当f(x) x1 x2 x3 xn时求f (x)。