二、解答下列各题

,其母线长20cm,要使其体积最大,问其高应为多少? 1、要做一个圆锥形漏斗

2、求曲线y 2 x与y x所围成的平面图形的面积.

2

, 上所围成的平面图形的面积. 3、求曲线y x和y x在 01

三、解答下列各题

2

3

四、解答下列各题

证明方程x5 7x 4在区间(1，2)内至少有一个实根．

判定曲线y (x 3)x在0， 上的凹凸性

第二部分

（1） 课程名称：微分几何

（2） 基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：

曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet标架与Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。

曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；

向量的平行移动。

基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

二、讲授纲要

第一章 三维欧氏空间的曲线论

§1 曲线 曲线的切向量 弧长

教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。 §2 主法向量与从法向量 曲率与扰率

教学要求：理解曲率与挠率,主法向量与从法向量,密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。

§3 Frenet标架 Frenet公式

教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。 §4 曲线在一点邻近的性质