4、设F上三维向量空间的线性变换 关于基 1, 2, 3 的矩阵是

1 2 1 3 2 3 15 115

20 158 ，求关于基

2 3 1 4 2 3 的矩阵

3 1 2 2 2 3 8 76

1 231

T 342

B T 1AT 2

3 112

5、令 是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件 ，证明：（1）

2

) Im( ) ker( ) ( ) V （2）V ker(

证明：（1）

( ) V ，则

( ) ( ) V

( ) ( ( )) ( ) 2( ) ( ) ( ) 0， Ker( )

反之， Ker( )， ( ) 0， 于是 ker( )

( ) V

V, ( ) ( )，即V ker( ) Im( )

设

ker( ) Im( )

由

Im( )

，有

V

，使得

又 ker( )，所 ( ) , 2( ) ( ),因 2＝ ，所以 （ ）＝ （ ）以

（ ）＝0，于是 （ ）＝0，即 ＝0 所以 ker( ) Im( )＝0

60 4

10 6、设 A 3 50 ，求A

3 61 1， 3＝ 2 解：特征值 1＝ 2＝

TTT

特征向量 1＝（0， 2＝（ 2，， 3＝（ 1 1，0），1，1）0，1）

A10 P 10P 1 P＝（ 1， 2， 3） 则 P 1AP ，