题型6：平面向量在几何图形中的应用

例11．已知两点M( 1且点P（x，y）使得MP MN，PM PN，NM NP，0)，N(1，0)，成公差小于零的等差数列。

（1）求证x y 3(x 0)；

（2）若点P的坐标为(x0，y0)，记PM与PN的夹角为 ，求tan 。

2222

解析：（1）略解：PM PN x y 1，由直接法得x y 3(x 0)

22

（2）当P不在x轴上时，

S PMN

1

|PM||PN|sin 2

1

PM PNtan 21

|MN|||y0|2

而PN PM ( 1 x0， y0) (1 x0，y0) x y 1 2，|MN| 2

2

020

tan 0，上式仍成立。 所以tan |y0|，当P在x轴上时，y0 0，

y

P

M N

图1

1 1 1

点评：由正弦面积公式S |a||b|sin |a||b|cos tan a btan 得到

222

了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。

例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。 已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。