|a|2 |a||b|cos 即：cos

所以 120.

o

|a|

2

|a||b|

1

2|b|

|a|

点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式cos

，要掌握向量坐标形式的运算。

向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于a.b |a||b|cos 这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。

例4．（1）设平面向量a1、a2、a3的和a1 a2 a3 0。如果向量b1、b2、b3，

o

满足|bi| 2|i|，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i 1,2,3，则（ ）

A．－b1+b2+b3= B．b1-b2+b3= C．b1+b2-b3= D．b1+b2+b3=

（2）已知|a| 2|b| 0, 且关于x的方程x |a|x a b 0有实根, 则a与b的夹角的取值范围是（ ） A．[0,

2

2

] B．[, ] C．[,] D．[, ] 63336

解析：（1）D；（2）B；

点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。 题型3：向量的模

o

例5．（1）已知向量a与b的夹角为120，a 3,a b 则b等于（ ）

A．5 B．4 C．3 D．1

2

（2）设向量a,b,c满足a b c 0,a b,|a| 1,|b| 2,则|c| （ ）

A．1 B．2 C．4 D．5 解析：（1）B；（2）D；

点评：掌握向量数量积的逆运算||

，以及 ||。

2

2

例6．已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜

=1。

解析：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)；

又（xa+yb）⊥a (xa+yb)·a＝０ 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；