数量积（或内积）。规定0 a 0；

a b

向量的投影：︱b︱cos =∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称

|a|

为射影；

（3）数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。

（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：a a a |a|。 ②乘法公式成立

2

2

a b a 2a b b

2

2

2 2 2 2

a b a b a b a b；

2

2 2

a 2a b b；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：a b b a；

对实数的结合律成立： a b a b a b R ；

分配律成立：a b c a c b c c a b。

x1x2 y1y2 a b

④向量的夹角：cos =cos a,b =。

2222

a bx1 y1 x2 y2

0

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时

0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

（5）两个向量的数量积的坐标运算

b=x1x2 y1y2。 已知两个向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则a·

0

（6）垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。

b＝O x1x2 y1y2 0，平面向量数两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b a·

量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式

设a (x,y)，则|a| x y或|a|

2

2

2

x2 y2。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么