（Ⅲ）解法1：g(x) |f'(x)| | (x b) b c|

（1）当|b| 1时，由（Ⅱ）可知M 2；

（2）当|b| 1时，函数y f'(x）的对称轴x b位于区间[ 1,1]内， 此时M max g( 1),g(1),g(b)

由f'(1) f'( 1) 4b,有f'(b) f'( 1) b( 1) 0

①若 1 b 0,则f'(1) f'( 1) f'(b), g( 1) max g(1),g(b) ， 于是

2

22

1111

M max |f'(1)|,|f'(b)| (|f'(1)| f'(b)|) |f'(1) f'(b)| (b 1)2

2222

②若0 b 1，则f'( 1) f'(1) f'(b), g(1) max g( 1),g(b) 于是

1111

M max |f'( 1)|,|f'(b)| (|f'( 1)| |f'(b)|) |f'( 1) f'(b)| (b 1)2

2222

综上，对任意的b、c都有M 而当b 0,c

1

2

1112

时，g(x) x 在区间[ 1,1]上的最大值M

222

故M k对任意的b、c恒成立的k的最大值为解法2：g(x) |f'(x)| | (x b) b c|

（1）当|b| 1时，由（Ⅱ）可知M 2；

2

2

1

。 2

（2）当|b| 1时，函数y f'(x)的对称轴x b位于区间[ 1,1]内， 此时M max g( 1),g(1),g(b)

4M g( 1) g(1) 2g(b) | 1 2b c| | 1 2b c| 2|b2 c| | 1 2b c ( 1 2b c) 2(b2 c)| |2b2 2| 2，即M

下同解法1

1 2